मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण xfrac{dy}{dx} | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx}-y=x^2 \cot x$ है। $x^2$ से भाग देने पर, हमें $\frac{x \frac{dy}{dx}-y}{x^2} = \cot x$ प्राप्त होता है। इसे $\

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$-\pi$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx}-y=x^2 \cot x$ है। $x^2$ से भाग देने पर, हमें $\frac{x \frac{dy}{dx}-y}{x^2} = \cot x$ प्राप्त होता है। इसे $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \cot x$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, $\frac{y}{x} = \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$ प्राप्त होता है। दिया है $y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$, अतः $x = \frac{\pi}{2}$ और $y = \frac{\pi}{2}$ रखने पर: $\frac{\pi/2}{\pi/2} = \ln(\sin \frac{\pi}{2}) + C \implies 1 = \ln(1) + C \implies C = 1$. अतः, हल $y = x(\ln(\sin x) + 1)$ है। अब, $y(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}(\ln(\sin \frac{\pi}{6}) + 1) = \frac{\pi}{6}(\ln(\frac{1}{2}) + 1) = \frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)$ ज्ञात करें। $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}(\ln(\sin \frac{\pi}{4}) + 1) = \frac{\pi}{4}(\ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 1) = \frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)$ ज्ञात करें। अंत में, $6y(\frac{\pi}{6}) - 8y(\frac{\pi}{4}) = 6[\frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)] - 8[\frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)]$. $= \pi(1 - \ln 2) - 2\pi(1 - \frac{1}{2}\ln 2) = \pi - \pi \ln 2 - 2\pi + \pi \ln 2 = -\pi$.

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx}-y=x^{2}\cot x, x\in(0,\pi)$ का हल है। यदि $y(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$ है, तो $6y(\frac{\pi}{6})-8y(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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