ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ xfrac{dy}{dx}-y= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx}-y=x^2 \cot x$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x \frac{dy}{dx}-y}{x^2} = \cot x$ મળે છે. આને $\frac{d}{dx}\left(

Vedclass · Accepted Answer

$-\pi$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx}-y=x^2 \cot x$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x \frac{dy}{dx}-y}{x^2} = \cot x$ મળે છે. આને $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \cot x$ તરીકે લખી શકાય. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા, $\frac{y}{x} = \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$ મળે છે. આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$, તેથી $x = \frac{\pi}{2}$ અને $y = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા: $\frac{\pi/2}{\pi/2} = \ln(\sin \frac{\pi}{2}) + C \implies 1 = \ln(1) + C \implies C = 1$. આમ, ઉકેલ $y = x(\ln(\sin x) + 1)$ છે. હવે, $y(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}(\ln(\sin \frac{\pi}{6}) + 1) = \frac{\pi}{6}(\ln(\frac{1}{2}) + 1) = \frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)$ શોધો. $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}(\ln(\sin \frac{\pi}{4}) + 1) = \frac{\pi}{4}(\ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 1) = \frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)$ શોધો. અંતે, $6y(\frac{\pi}{6}) - 8y(\frac{\pi}{4}) = 6[\frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)] - 8[\frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)]$. $= \pi(1 - \ln 2) - 2\pi(1 - \frac{1}{2}\ln 2) = \pi - \pi \ln 2 - 2\pi + \pi \ln 2 = -\pi$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx}-y=x^{2}\cot x, x\in(0,\pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$ હોય, તો $6y(\frac{\pi}{6})-8y(\frac{\pi}{4})$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2x + x^2 \cot x$ $(x \neq 0)$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x = \frac{\pi}{2}$ હોય ત્યારે $y = 0$ છે.

વિકલ સમીકરણ $(e^{y-x}) dy = (e^x - e^y) dx$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\sin y \left(\frac{d y}{d x}\right) = \cos y (1 - x \cos y)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module