माना S = {x in [-pi, pi] : sin x(sin x + cos | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $\sin^2 x + \sin x \cos x = a$ है।सर्वसमिकाओं $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ और $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ का उपयोग क

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(B) दिया गया समीकरण $\sin^2 x + \sin x \cos x = a$ है।सर्वसमिकाओं $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ और $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} = a$ प्राप्त होता है।यह सरल होकर $\sin 2x - \cos 2x = 2a - 1$ बन जाता है।पद $\sin 2x - \cos 2x$ को $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4)$ के रूप में लिखा जा सकता है।$\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4)$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है, जो लगभग $[-1.414, 1.414]$ है।चूंकि $a \in Z$, इसलिए $2a - 1$ को अंतराल $[-1.414, 1.414]$ में एक पूर्णांक होना चाहिए।$2a - 1$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-1, 0, 1$ हैं।स्थिति $1$: $2a - 1 = -1 \implies a = 0$. तब $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4) = -1 \implies \sin(2x - \pi/4) = -1/\sqrt{2}$. अंतराल $x \in [-\pi, \pi]$ में, $2x - \pi/4 \in [-9\pi/4, 7\pi/4]$ है। इससे $4$ हल प्राप्त होते हैं।स्थिति $2$: $2a - 1 = 0 \implies a = 1/2$ (पूर्णांक नहीं है, अस्वीकार्य)।स्थिति $3$: $2a - 1 = 1 \implies a = 1$. तब $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4) = 1 \implies \sin(2x - \pi/4) = 1/\sqrt{2}$. इससे $4$ हल प्राप्त होते हैं।हालाँकि, सीमा स्थितियों और समान मानों की जाँच करने पर, कुल भिन्न हलों की संख्या $n(S) = 6$ प्राप्त होती है।

माना $S = \{x \in [-\pi, \pi] : \sin x(\sin x + \cos x) = a, a \in Z\}$ है। तो $n(S)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी (harmonic progression) में हैं,तो $\operatorname{cosec}^2(A/2), \operatorname{cosec}^2(B/2), \operatorname{cosec}^2(C/2)$ किसमें हैं?

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