मान लीजिए f एक दो बार अवकलनीय फलन है, इस प्रक | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} 	an(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) 	an t dt$.लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए, हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते ह

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$1$

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(B) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} 	an(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) 	an t dt$.लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए, हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$f'(x) = 	an(x-x) - 	an(0-x) - f(x) 	an x = 0 - (-	an x) - f(x) 	an x = 	an x (1 - f(x))$.यह एक पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{df}{1-f} = 	an x dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1-f| = \ln|\sec x| + C$.यह सरल होकर $\ln|1-f|^{-1} = \ln|\sec x| + C$, या $1-f = k \cos x$ हो जाता है।$x=0$ पर, $f(0) = \int_{0}^{0} 	an(t) dt - \int_{0}^{0} f(t) 	an t dt = 0$.$1-f(x) = k \cos x$ में $x=0$ रखने पर, हमें $1-0 = k(1)$ प्राप्त होता है, इसलिए $k=1$.अतः, $f(x) = 1 - \cos x$.अब, $f'(x) = \sin x$ और $f''(x) = \cos x$.हमें $f''(\pi/6) + f(\pi/6)$ का मान ज्ञात करना है:$f''(\pi/6) = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$f(\pi/6) = 1 - \cos(\pi/6) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.इसलिए, $f''(\pi/6) + f(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में समीकरण $x e^{\sin x}-\cos x=0$ के हलों की संख्या	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ के मान जिनके लिए समतल $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ और $2 x+2 y+z=0$ एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ के मान जिनके लिए $\|x-1\|+\|x-2\|+\|x+1\|+\|x+2\|=4 k$ के पूर्णांक हल हैं	$(r)$ $3$
$(D)$ यदि $y^{\prime}=y+1$ और $y(0)=1$ है,तो $y(\ln 2)$ का मान	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

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