मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण sin x frac{dy} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ है।इसे $\frac{d}{dx}(y \sin x) = 4x$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का $x$ के

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$-\frac{8}{9} \pi^2$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ है।इसे $\frac{d}{dx}(y \sin x) = 4x$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $y \sin x = \int 4x \, dx = 2x^2 + C$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए $x = \frac{\pi}{2}$ और $y = 0$ समीकरण में रखने पर:$0 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 + C \Rightarrow 0 = 2(\frac{\pi^2}{4}) + C \Rightarrow C = -\frac{\pi^2}{2}$.अतः,हल $y \sin x = 2x^2 - \frac{\pi^2}{2}$ है।अब,$x = \frac{\pi}{6}$ रखकर $y(\frac{\pi}{6})$ ज्ञात करते हैं:$y \sin(\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{2}$.$y(\frac{1}{2}) = 2(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi^2}{18} - \frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi^2 - 9\pi^2}{18} = -\frac{8\pi^2}{18} = -\frac{4\pi^2}{9}$.इसलिए,$y = 2 	imes (-\frac{4\pi^2}{9}) = -\frac{8\pi^2}{9}$.

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ का हल है,जहाँ $x \in (0, \pi)$ है। यदि $y(\frac{\pi}{2}) = 0$ है,तो $y(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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