मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{c} = x\hat{i} + (x-2)\hat{j} - \hat{k}$ है। यदि सदिश $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) सदिशों $\vec{a} = -2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$, और $\vec{c} = -3\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ द्वारा निर्धारित है। सदिशों $\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्धारित समांतर चतुर्भुज आधार पर समांतर षट्फलक की ऊँचाई है

किन्हीं भी शून्येतर सदिशों $a, b, c$ के लिए,$a \cdot[(b+c) \times(a+b+c)] = \ldots .$

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिशों $\overrightarrow{OA} = (2, 1, 1)$,$\overrightarrow{OB} = (3, -1, 1)$ और $\overrightarrow{OC} = (-1, 1, -1)$ द्वारा निरूपित हैं। यह . . . . . . घन इकाई है।

$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $x \bar{a} + y \bar{b} + z \bar{c} = p(\bar{b} \times \bar{c}) + q(\bar{c} \times \bar{a}) + r(\bar{a} \times \bar{b})$. यदि $(\bar{a}, \bar{b}) = (\bar{b}, \bar{c}) = (\bar{c}, \bar{a}) = \frac{\pi}{3}$, $(\bar{a}, \bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\pi}{6}$ और $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ एक दाहिने हाथ की प्रणाली (right-handed system) बनाते हैं, तो $\frac{x+y+z}{p+q+r} = $

यदि मूल बिंदु $O(0,0,0)$ और बिंदु $P(2,3,4)$,$Q(1,2,3)$ तथा $R(x, y, z)$ समतलीय हैं,तो: