मान लीजिए f(x) सभी x 0 के लिए परिभाषित है औ | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(\frac{x}{y}) = f(x) - f(y)$ है।$y = 1$ रखने पर,हमें $f(x) = f(x) - f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(1) = 0$.$x = 1$ र

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$f(x) = \ln(x)$

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(D) दिया गया फलन समीकरण $f(\frac{x}{y}) = f(x) - f(y)$ है।$y = 1$ रखने पर,हमें $f(x) = f(x) - f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(1) = 0$.$x = 1$ रखने पर,हमें $f(\frac{1}{y}) = f(1) - f(y) = -f(y)$ प्राप्त होता है।किसी भी $x, y > 0$ के लिए,$f(xy) = f(\frac{x}{1/y}) = f(x) - f(1/y) = f(x) + f(y)$.यह लघुगणक फलन के लिए कौशी कार्यात्मक समीकरण है।चूंकि $f(x)$ सतत है और $f(xy) = f(x) + f(y)$ को संतुष्ट करता है,इसलिए समाधान $f(x) = c \ln(x)$ के रूप में है।दिया गया है $f(e) = 1$,इसलिए $c \ln(e) = 1$,यानी $c(1) = 1$,जिसका अर्थ है $c = 1$.अतः,$f(x) = \ln(x)$.इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

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