मान लीजिए $(7 + 4\sqrt{3})^n = p + \beta$,जहाँ $n$ और $p$ धनात्मक पूर्णांक हैं और $\beta \in (0, 1)$ है। तो $(1 - \beta)(p + \beta)$ क्या है?

यदि $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है, तो $\sum_{k=0}^7 (-1)^k a_{2k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है और $(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ है,तो $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान क्या होगा?

यदि द्विपद $[\sqrt{2^{\log(10 - 3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x - 2)\log 3}}]^m$ के विस्तार में $6^{th}$ पद $21$ के बराबर है और यह ज्ञात है कि विस्तार में $2^{nd}$,$3^{rd}$ और $4^{th}$ पदों के द्विपद गुणांक क्रमशः एक $A.P.$ के पहले,तीसरे और पांचवें पद का प्रतिनिधित्व करते हैं (यहाँ $\log$ का अर्थ $10$ के आधार पर लघुगणक है),तो $x = $

यदि $(1 + x) (1 + x + x^2) (1 + x + x^2 + x^3) \dots (1 + x + x^2 + \dots + x^n) \equiv a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_mx^m$ है,तो $\sum_{r=0}^m a_r$ का मान किसके बराबर है?

यदि $C_r$ द्विपद गुणांक ${ }^{n} C_r$ को दर्शाता है,तो $(-1) C_0^2+2 C_1^2+5 C_2^2+\ldots+(3 n-1) C_n^2$ का मान ज्ञात कीजिए।