मान लीजिए f(x) = frac{tan^n x}{sum_{r=0}^{2n} | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $	an x = t$. चूँकि $x \in [0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $t \in [0, \infty)$.$f(x) = \frac{t^n}{1 + t + t^2 + \dots + t^{2n}}$.$t=0$ के लिए,

Vedclass · Accepted Answer

$f(x)$ परिबद्ध है और यह अपनी दोनों सीमाओं को ग्रहण करता है और $f(x)$ का परिसर ठीक एक पूर्णांक बिंदु रखता है।

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $	an x = t$. चूँकि $x \in [0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $t \in [0, \infty)$.$f(x) = \frac{t^n}{1 + t + t^2 + \dots + t^{2n}}$.$t=0$ के लिए,$f(x) = 0$.$t > 0$ के लिए,अंश और हर को $t^n$ से विभाजित करने पर:$f(x) = \frac{1}{t^n + t^{n-1} + \dots + 1 + \dots + \frac{1}{t^{n-1}} + \frac{1}{t^n}}$.$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हुए,$t > 0$ के लिए $t^k + \frac{1}{t^k} \ge 2$.अतः,हर $\ge 2 + 2 + \dots + 2 + 1 = 2n + 1$.इसलिए,$f(x) \le \frac{1}{2n+1}$.समानता तब होती है जब $t=1$,अर्थात $x = \frac{\pi}{4}$.चूँकि $f(0) = 0$ और अधिकतम मान $\frac{1}{2n+1}$ है,परिसर $[0, \frac{1}{2n+1}]$ है।चूँकि $n \in N$,$2n+1 \ge 3$,इसलिए $\frac{1}{2n+1} < 1$. परिसर $[0, \frac{1}{2n+1}]$ में केवल एक पूर्णांक $0$ है। अतः,इसमें ठीक एक पूर्णांक बिंदु है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{\tan^n x}{\sum_{r=0}^{2n} \tan^r x}$,$n \in N$,जहाँ $x \in [0, \frac{\pi}{2})$.

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