मान लीजिए $f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2x + 1,$ तो

अंतराल $x \in [0, 1]$ पर फलन $f(x) = x^2(1 - x)^2$ के लिए रोले प्रमेय (Rolle's theorem) को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है...

यदि अंतराल $[3, 4]$ पर फलन $f(x) = \log \left( \frac{x^2 + a}{x} \right)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है और $c \in (3, 4)$ इस प्रकार है कि $f'(c) = 0$, तो $f''(c)$ का मान है

दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $a \le x \le b$ पर सतत अवकलनीय है जहाँ $a < b, f(a) < 0$ और $f(b) > 0$,तो निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सत्य है?
$(i)$ $f(x)$ अंतराल $a \le x \le b$ पर परिबद्ध (bounded) है।
$(ii)$ समीकरण $f(x) = 0$ का $a < x < b$ में कम से कम एक हल है।
$(iii)$ $f(x)$ का अधिकतम और न्यूनतम मान उन बिंदुओं पर होता है जहाँ $f'(c) = 0$ है।
$(iv)$ $a < c < b$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा है जहाँ $f'(c) > 0$ है।
$(v)$ $a < d < b$ में कम से कम एक बिंदु $d$ ऐसा है जहाँ $f'(d) < 0$ है।

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: यदि $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$, जहाँ $a_0, a_1, \ldots, a_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो बहुपद $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ का अंतराल $(0,1)$ में एक शून्य है।
कथन $II$: यदि $f:[a, b] \rightarrow R$, $[a, b]$ पर सतत है और $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, जहाँ $a>0$ और यदि $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ है, तो एक ऐसा $c \in(a, b)$ मौजूद है कि $c f^{\prime}(c)=f(c)$ हो।
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

यदि फलन $f(x) = x^3 - 6ax^2 + 5x$ अंतराल $[1, 2]$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और वक्र $y = f(x)$ पर $x = \frac{7}{4}$ पर खींची गई स्पर्श रेखा,वक्र के $x = 1$ और $x = 2$ पर स्थित बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।