यदि अंतराल [3, 4] पर फलन f(x) = log left( fra | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \log(x^2 + a) - \log(x)$।चूंकि रोले का प्रमेय लागू होता है, $f(3) = f(4)$।$\log(9+a) - \log(3) = \log(16+a) - \log(4) \implies

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$\frac{1}{12}$

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(D) दिया गया है $f(x) = \log(x^2 + a) - \log(x)$।चूंकि रोले का प्रमेय लागू होता है, $f(3) = f(4)$।$\log(9+a) - \log(3) = \log(16+a) - \log(4) \implies \frac{9+a}{3} = \frac{16+a}{4}$।$36 + 4a = 48 + 3a \implies a = 12$।अतः, $f(x) = \log(x^2 + 12) - \log(x)$।$f'(x) = \frac{2x}{x^2+12} - \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - (x^2+12)}{x(x^2+12)} = \frac{x^2-12}{x(x^2+12)}$।दिया है $f'(c) = 0$, इसलिए $c^2 - 12 = 0 \implies c^2 = 12$।$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2-12}{x^3+12x} \right) = \frac{(2x)(x^3+12x) - (x^2-12)(3x^2+12)}{(x^3+12x)^2}$।$c^2=12$ प्रतिस्थापित करने पर: $f''(c) = \frac{(2c)(c^3+12c) - (0)(3c^2+12)}{(c^3+12c)^2} = \frac{2c^4+24c^2}{(c^3+12c)^2} = \frac{2(12)^2 + 24(12)}{(12c+12c)^2} = \frac{288+288}{(24c)^2} = \frac{576}{576c^2} = \frac{1}{c^2} = \frac{1}{12}$।

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