मान लीजिए $a > 0$ और $f$ अंतराल $[-a, a]$ में सतत है। मान लीजिए कि $f'(x)$ का अस्तित्व है और सभी $x \in (-a, a)$ के लिए $f'(x) \le 1$ है। यदि $f(a) = a$ और $f(-a) = -a$ है,तो $f(0)$ क्या है?

यदि $27a + 9b + 3c + d = 0$ है,तो समीकरण $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0$ का कम से कम एक मूल किसके बीच स्थित है?

वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद $g(x)$ के लिए,$m_g$ को $g(x)$ के भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या के रूप में दर्शाया गया है। मान लीजिए $S$ वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का एक समुच्चय है जिसे $S = \{(x^2-1)^2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) : a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। बहुपद $f$ के लिए,$f'$ और $f''$ क्रमशः इसके प्रथम और द्वितीय क्रम के अवकलज को दर्शाते हैं। तब $(m_f + m_{f'})$ का न्यूनतम संभव मान,जहाँ $f \in S$,क्या है?

यदि $[1, 3]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ के लिए रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो:

$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है

यदि फलन $f(x)=\sqrt{x^2-4}$ अंतराल $[2, 4]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $C$ का मान ज्ञात कीजिए।