m 1, n 1 के लिए,वह मान c जिसके लिए फलन f( | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के लिए अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है।गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञा

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$\frac{a(2m-1)}{2m+2n-1}$

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(C) दिया गया है कि फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के लिए अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है।गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = (2m-1)x^{2m-2}(a-x)^{2n} - 2n(a-x)^{2n-1}x^{2m-1}$.रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, a)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।$(2m-1)c^{2m-2}(a-c)^{2n} - 2nc^{2m-1}(a-c)^{2n-1} = 0$.$c^{2m-2}(a-c)^{2n-1}$ से भाग देने पर (चूंकि $c 
eq 0$ और $c 
eq a$):$(2m-1)(a-c) = 2nc$.$(2m-1)a - (2m-1)c = 2nc$.$(2m-1)a = (2m-1+2n)c$.$c = \frac{a(2m-1)}{2m+2n-1}$.अतः,विकल्प $C$ सही है।

$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है

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मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, $x=a$ और $x=b$ पर सतत है, और $f(a)=0=f(b)$ है। तो:

फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$[1, 3]$ अंतराल में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि $c = \frac{1}{2}$ और $f(x) = 2x - x^2$ है,तो $x$ का वह अंतराल $(a, b)$ जिसमें $f(x)$ के लिए लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू होता है,क्या है?

यदि $a, b, c \in \mathbb{R}$ और $3a + 5b + 15c = 0$ को संतुष्ट करते हैं,तो समीकरण $ax^4 + bx^2 + c = 0$ के पास:

यदि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ में अवकलनीय फलन हैं जो $f(0) = 2$,$g(1) = 2$,$g(0) = 0$,और $f(1) = 6$ को संतुष्ट करते हैं,तो किसी $c \in (0, 1)$ के लिए:

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