मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, $x=a$ और $x=b$ पर सतत है, और $f(a)=0=f(b)$ है। तो:

रोल का प्रमेय $[-1, 1]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = |x|$ के लिए लागू नहीं होता है क्योंकि

मान लीजिए $f(x)$ एक गैर-स्थिर दो बार अवकलनीय फलन है जो $(-\infty, \infty)$ पर परिभाषित है,इस प्रकार कि $f(x)=f(1-x)$ और $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ है। तब
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ अंतराल $[0,1]$ पर कम से कम दो बार शून्य होता है
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$

अंतराल $x \in [-6, 0]$ पर फलन $f(x) = x \sqrt{x+6}$ के लिए रोले के प्रमेय की शर्तों और निष्कर्षों को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है:

यदि $27a + 9b + 3c + d = 0$ है,तो समीकरण $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0$ का कम से कम एक मूल किसके बीच स्थित है?

यदि फलन $f(x) = ax^2 + bx + \sin x$, अंतराल $[0, \pi]$ पर रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है और वक्र $y = f(x)$ की $x = \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्श रेखा की ढाल शून्य है, तो $a - b = \dots$