यदि फलन f(x) = ax^2 + bx + sin x, अंतराल [0, | vedclass

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Question

(D) $1$. रोले के प्रमेय के लिए $f(0) = f(\pi)$ आवश्यक है।$2$. $f(0) = a(0)^2 + b(0) + \sin(0) = 0$।$3$. $f(\pi) = a\pi^2 + b\pi + \sin(\pi) = a\pi^2 +

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$\frac{\sqrt{2}(\pi + 1)}{\pi}$

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(D) $1$. रोले के प्रमेय के लिए $f(0) = f(\pi)$ आवश्यक है।$2$. $f(0) = a(0)^2 + b(0) + \sin(0) = 0$।$3$. $f(\pi) = a\pi^2 + b\pi + \sin(\pi) = a\pi^2 + b\pi = 0$। चूँकि $\pi 
eq 0$, इसलिए $a\pi + b = 0$, अतः $b = -a\pi$।$4$. स्पर्श रेखा की ढाल $f'(x) = 2ax + b + \cos x$ है।$5$. दिया है $f'(\frac{\pi}{4}) = 0$, इसलिए $2a(\frac{\pi}{4}) + b + \cos(\frac{\pi}{4}) = 0$।$6$. $\frac{a\pi}{2} + b + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$।$7$. $b = -a\pi$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{a\pi}{2} - a\pi + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \implies -\frac{a\pi}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies a = \frac{2}{\pi\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$।$8$. तब $b = -a\pi = -\frac{\sqrt{2}}{\pi} \cdot \pi = -\sqrt{2}$।$9$. $a - b = \frac{\sqrt{2}}{\pi} - (-\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}\pi}{\pi} = \frac{\sqrt{2}(1 + \pi)}{\pi}$।

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यदि $f: R \rightarrow R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$ है,और $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$,$f(1) = 1$ है,तो

फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$[1, 3]$ अंतराल में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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