मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f(a)=0=f(b)$ और कुछ $a < b$ के लिए $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) > 0$ है। तो,अंतराल $(a, b)$ में $f^{\prime}(x)=0$ के मूलों की न्यूनतम संख्या है

यदि $c$ एक ऐसा बिंदु है जिस पर अंतराल $[3, 4]$ में फलन $f(x) = \log_{e}\left(\frac{x^{2}+\alpha}{7x}\right)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है,जहाँ $\alpha \in R$,तो $f''(c)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ अंतराल $[a, b]$ में सतत है, $(a, b)$ में अवकलनीय है और $f(a)=0=f(b)$ है। तो

यदि फलन $f(x) = x(x + 3) e^{-x/2}$ अंतराल $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f(x)$,$[0, 2]$ में लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 0$ और सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $|f'(x)| \leqslant \frac{1}{2}$ है,तो-

एक मोनिक द्विघात बहुपद $f(x)$ के लिए अंतराल $[\alpha, \alpha + 3]$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है, जहाँ $f(\alpha) = 0$ है। इसी प्रकार, $g(x) = f(x) + 2$ भी अंतराल $[\beta, 3]$ पर रोले का प्रमेय का पालन करता है, जहाँ $g(3) = 0$ है, इस प्रकार कि $c$ का मान (जहाँ $f'(c) = g'(c) = 0$) $f(x)$ और $g(x)$ दोनों के लिए समान है। तब $(f \circ g)(\alpha)$ का मान है...