यदि फलन f(x) = x(x + 3) e^{-x/2} अंतराल [-3, | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = (x^2 + 3x) e^{-x/2}$ है।रोले के प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(-3, 0)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।सबसे

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$-2$

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(C) दिया गया फलन $f(x) = (x^2 + 3x) e^{-x/2}$ है।रोले के प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(-3, 0)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:$f'(x) = (2x + 3) e^{-x/2} + (x^2 + 3x) \cdot (-\frac{1}{2}) e^{-x/2}$$f'(x) = e^{-x/2} [2x + 3 - \frac{1}{2}(x^2 + 3x)]$$f'(c) = 0$ रखने पर:$2c + 3 - \frac{c^2 + 3c}{2} = 0$$2$ से गुणा करने पर:$4c + 6 - c^2 - 3c = 0$$-c^2 + c + 6 = 0$$c^2 - c - 6 = 0$$(c - 3)(c + 2) = 0$अतः,$c = 3$ या $c = -2$ प्राप्त होता है।चूंकि अंतराल $[-3, 0]$ है,इसलिए $c \in (-3, 0)$ होना चाहिए।अतः,$c = -2$ सही मान है।

यदि फलन $f(x) = x(x + 3) e^{-x/2}$ अंतराल $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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