જો વિધેય $f(x) = x(x + 3) e^{-x/2}$ એ અંતરાલ $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ $[2,7]$ પર વ્યાખ્યાયિત બહુપદી વિધેય છે. જો $f(2)=3$ અને $(2,7)$ માં તમામ $x$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ હોય,તો $x=7$ આગળ $f$ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી છે?

વિધેય $f(x) = \log_{e} x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) લાગુ પડે તે માટે $c$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x^p}{(\sin x)^q} & \text{જો } 0 < x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & \text{જો } x = 0 \end{cases}$ જ્યાં $p, q \in \mathbb{R}$. તો, લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $[0, \frac{\pi}{2}]$ સંવૃત અંતરાલમાં $f(x)$ માટે લાગુ પડે છે જો:

અંતરાલ $[1, 3]$ માં વિધેય $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો. $c \in (1, 3)$ શોધો જેના માટે $f^{\prime}(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ થાય.

નીચેના વિધેયો માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ની લાગુ પડવાની શક્યતા તપાસો:
$(i)$ $f(x) = [x]$,$x \in [5, 9]$ માટે
$(ii)$ $f(x) = [x]$,$x \in [-2, 2]$ માટે
$(iii)$ $f(x) = x^{2} - 1$,$x \in [1, 2]$ માટે