अंतराल [1, 2] में फलन f(x)=(x-1)^3(x-2)^5 के | vedclass

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Question

(D) रोले के प्रमेय को लागू करने के लिए,$f(x)$ को $[1, 2]$ पर संतत,$(1, 2)$ पर अवकलनीय होना चाहिए और $f(1) = f(2)$ होना चाहिए।यहाँ,$f(1) = (1-1)^3(1-2)

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$\frac{11}{8}$

Vedclass · Answer

(D) रोले के प्रमेय को लागू करने के लिए,$f(x)$ को $[1, 2]$ पर संतत,$(1, 2)$ पर अवकलनीय होना चाहिए और $f(1) = f(2)$ होना चाहिए।यहाँ,$f(1) = (1-1)^3(1-2)^5 = 0$ और $f(2) = (2-1)^3(2-2)^5 = 0$ है। चूँकि $f(1) = f(2) = 0$,रोले का प्रमेय लागू होता है।हमें $c \in (1, 2)$ ज्ञात करना है ताकि $f'(c) = 0$ हो।गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = 3(x-1)^2(x-2)^5 + 5(x-1)^3(x-2)^4$।उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $f'(x) = (x-1)^2(x-2)^4 [3(x-2) + 5(x-1)]$।$f'(x) = (x-1)^2(x-2)^4 [3x - 6 + 5x - 5] = (x-1)^2(x-2)^4 (8x - 11)$।$c \in (1, 2)$ के लिए $f'(c) = 0$ रखने पर:$(c-1)^2(c-2)^4 (8c - 11) = 0$।चूँकि $c 
eq 1$ और $c 
eq 2$,इसलिए $8c - 11 = 0$ होना चाहिए,जिससे $c = \frac{11}{8}$ प्राप्त होता है।

अंतराल $[1, 2]$ में फलन $f(x)=(x-1)^3(x-2)^5$ के लिए रोले के प्रमेय का स्थिरांक $c$ क्या है?

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मान लीजिए कि $f$ अंतराल $(1,6)$ पर एक दो बार अवकलनीय फलन है। यदि $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$ और $f''(x) \geq 4$ सभी $x \in (1,6)$ के लिए है,तो:

अंतराल $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ पर परिभाषित फलन $f(x)=(x-1)(x-2)$ के लिए,लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है

सभी $x > e$ के लिए $\left[ \frac{\log (x/e)}{x - e} \right]$ का मान क्या होगा? (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।)

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$। यदि $a = 4$,$b = 9$ और $f(x) = \sqrt{x}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

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