सभी $x > e$ के लिए $\left[ \frac{\log (x/e)}{x - e} \right]$ का मान क्या होगा? (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।)

यदि $f$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f(2x + 1) = f(1 - 2x)$ सभी $x \in R$ के लिए,तो $x \in (-5, 10)$ में समीकरण $f'(x) = 0$ के मूलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $f(2) = f(5) = f(10)$ है।

यदि $f(x) = x^2 - 2x + 4$ और $\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)$ है,तो $c$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $f(x)$, $[0,4]$ पर सतत है, $(0,4)$ पर अवकलनीय है, $f(0)=4$ और $f(4)=-2$ है। यदि $g(x)=\frac{f(x)}{x+2}$ है, तो किसी लैग्रेंज स्थिरांक $c \in (0,4)$ के लिए $g^{\prime}(c)$ का मान क्या होगा?

यदि फलन $f(x) = x(x + 3) e^{-x/2}$ अंतराल $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $a \le x \le b$ पर सतत अवकलनीय है जहाँ $a < b, f(a) < 0$ और $f(b) > 0$,तो निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सत्य है?
$(i)$ $f(x)$ अंतराल $a \le x \le b$ पर परिबद्ध (bounded) है।
$(ii)$ समीकरण $f(x) = 0$ का $a < x < b$ में कम से कम एक हल है।
$(iii)$ $f(x)$ का अधिकतम और न्यूनतम मान उन बिंदुओं पर होता है जहाँ $f'(c) = 0$ है।
$(iv)$ $a < c < b$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा है जहाँ $f'(c) > 0$ है।
$(v)$ $a < d < b$ में कम से कम एक बिंदु $d$ ऐसा है जहाँ $f'(d) < 0$ है।