यदि f एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि f(2x + 1) = f | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(2x + 1) = f(1 - 2x)$.माना $t = 2x + 1$,तो $x = (t - 1)/2$. $RHS$ में प्रतिस्थापित करने पर: $f(t) = f(1 - 2((t - 1)/2)) = f(1 - (t -

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$4$

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(C) दिया गया है $f(2x + 1) = f(1 - 2x)$.माना $t = 2x + 1$,तो $x = (t - 1)/2$. $RHS$ में प्रतिस्थापित करने पर: $f(t) = f(1 - 2((t - 1)/2)) = f(1 - (t - 1)) = f(2 - t)$.यह दर्शाता है कि $f$ रेखा $x = 1$ के सापेक्ष सममित है।दिया गया है $f(2) = f(5) = f(10)$.सममिति का उपयोग करते हुए $f(x) = f(2 - x)$:$f(2) = f(0)$$f(5) = f(2 - 5) = f(-3)$$f(10) = f(2 - 10) = f(-8)$अतः $f(-8) = f(-3) = f(0) = f(2) = f(5) = f(10)$.हमें $5$ अलग-अलग बिंदु मिलते हैं जहाँ फलन के मान समान हैं: $x = -8, -3, 0, 2, 5$.रोल के प्रमेय के अनुसार,$f(x) = c$ के किन्हीं दो मूलों के बीच $f'(x) = 0$ का कम से कम एक मूल होता है।$(-8, -3)$,$(-3, 0)$,$(0, 2)$,और $(2, 5)$ के बीच $f'(x) = 0$ के कम से कम $4$ मूल हैं।चूंकि अंतराल $(-5, 10)$ है,हम इस सीमा में मूलों की जाँच करते हैं:$(-3, 0)$,$(0, 2)$,और $(2, 5)$ में मूल मौजूद हैं। ये $3$ मूल $(-5, 10)$ में हैं।इसके अतिरिक्त,चूंकि $f(5) = f(10)$,$(5, 10)$ में कम से कम एक मूल है।इस प्रकार,$(-5, 10)$ में कम से कम $3 + 1 = 4$ मूल हैं।

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यदि $2a + 3b + 6c = 0$ और $a, b, c \in \mathbb{R}$ है,तो समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $0$ और $1$ के बीच कम से कम एक मूल है।

यदि रोले का प्रमेय अंतराल $[-1, 1]$ में फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ के लिए बिंदु $c = \frac{1}{2}$ पर लागू होता है,तो $2a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: [-1, 2] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ और $t \in [0, 2]$ के लिए $-1 \le f'(t) \le 0$ है। तो:

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