मान लीजिए कि f''(x) सभी वास्तविक x के लिए मौज | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है कि $f(2)=2, f(3)=5, f(4)=10$ है। अंतराल $[2, 3]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के

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$f''(x) > 1$ किसी $x \in (2, 4)$ के लिए

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(B) मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है कि $f(2)=2, f(3)=5, f(4)=10$ है। अंतराल $[2, 3]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के अनुसार,एक $c_1 \in (2, 3)$ मौजूद है ताकि $f'(c_1) = \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{5-2}{1} = 3$ हो। अंतराल $[3, 4]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक $c_2 \in (3, 4)$ मौजूद है ताकि $f'(c_2) = \frac{f(4)-f(3)}{4-3} = \frac{10-5}{1} = 5$ हो। अब,$f'(x)$ पर अंतराल $[c_1, c_2]$ के लिए माध्य मान प्रमेय लागू करने पर,एक $c \in (c_1, c_2) \subset (2, 4)$ मौजूद है ताकि $f''(c) = \frac{f'(c_2)-f'(c_1)}{c_2-c_1} = \frac{5-3}{c_2-c_1} = \frac{2}{c_2-c_1}$ हो। चूंकि $c_1 \in (2, 3)$ और $c_2 \in (3, 4)$ है,इसलिए अंतराल की लंबाई $c_2-c_1$ का मान $2$ से कम है। विशेष रूप से,$0 इसलिए,$f''(c) = \frac{2}{c_2-c_1} > \frac{2}{2} = 1$ है। अतः,किसी $x \in (2, 4)$ के लिए $f''(x) > 1$ सत्य है।

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मान लीजिए $f$ एक फलन है जो अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय है। तो, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

मान लीजिए $f: [-1, 2] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ और $t \in [0, 2]$ के लिए $-1 \le f'(t) \le 0$ है। तो:

अंतराल $[0,2]$ में फलन $f(x)=x^3-3x^2+2x$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होने हेतु $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f(x) = |1 - x|$ जहाँ $1 \le x \le 2$ और $g(x) = f(x) + b \sin(\frac{\pi}{2}x)$ जहाँ $1 \le x \le 2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

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