ધારો કે f''(x) તમામ વાસ્તવિક x માટે અસ્તિત્વ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $f(x)$ એવું વિધેય છે કે જેથી $f(2)=2, f(3)=5, f(4)=10$ થાય. અંતરાલ $[2, 3]$ પર લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c_1 \in (2, 3)$ અસ્તિ

Vedclass · Accepted Answer

$f''(x) > 1$ કોઈ $x \in (2, 4)$ માટે

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $f(x)$ એવું વિધેય છે કે જેથી $f(2)=2, f(3)=5, f(4)=10$ થાય. અંતરાલ $[2, 3]$ પર લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c_1 \in (2, 3)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c_1) = \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{5-2}{1} = 3$ થાય. અંતરાલ $[3, 4]$ પર લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈ $c_2 \in (3, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c_2) = \frac{f(4)-f(3)}{4-3} = \frac{10-5}{1} = 5$ થાય. હવે,$f'(x)$ પર અંતરાલ $[c_1, c_2]$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડતા,કોઈ $c \in (c_1, c_2) \subset (2, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f''(c) = \frac{f'(c_2)-f'(c_1)}{c_2-c_1} = \frac{5-3}{c_2-c_1} = \frac{2}{c_2-c_1}$ થાય. અહીં $c_1 \in (2, 3)$ અને $c_2 \in (3, 4)$ હોવાથી,અંતરાલની લંબાઈ $c_2-c_1$ એ $2$ કરતા ઓછી છે. ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$0 તેથી,$f''(c) = \frac{2}{c_2-c_1} > \frac{2}{2} = 1$ થાય. આમ,કોઈ $x \in (2, 4)$ માટે $f''(x) > 1$ સાચું છે.

Similar Questions

મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) માં,$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. જો $a = 0$,$b = \frac{1}{2}$ અને $f(x) = x(x - 1)(x - 2)$ હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f$ એ $[0,2]$ પર સતત અને $(0,2)$ પર બે વાર વિકલનીય વિધેય છે. જો $f(0)=0, f(1)=1$ અને $f(2)=2$ હોય,તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module