अंतराल [0,2] में फलन f(x)=x^3-3x^2+2x के लिए | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ अंतराल $[0, 2]$ पर है।चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 2]$ पर सतत है और $(0, 2)$ पर अवकलनीय है।साथ ही,$f(0)

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$1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ अंतराल $[0, 2]$ पर है।चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 2]$ पर सतत है और $(0, 2)$ पर अवकलनीय है।साथ ही,$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2(0) = 0$ और $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ है।चूंकि $f(0) = f(2)$,रोले के प्रमेय के अनुसार $(0, 2)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$ हो।$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ है।$f'(c) = 0$ रखने पर,$3c^2 - 6c + 2 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:$c = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।दोनों मान $1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$ अंतराल $(0, 2)$ के भीतर स्थित हैं।

अंतराल $[0,2]$ में फलन $f(x)=x^3-3x^2+2x$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होने हेतु $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

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निम्नलिखित में से किस फलन के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है?

मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर संतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है, जहाँ $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2+4$ सभी $x \in (1,3)$ के लिए है। तो:

रोल का प्रमेय $[-1, 1]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = |x|$ के लिए लागू नहीं होता है क्योंकि

अंतराल $[0, 1/2]$ में फलन $f(x)=x(x-1)(x-2)$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय का मान $C$ क्या है?

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