निम्नलिखित में से किस फलन के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है?

मान लीजिए $a > 0$ और $f$ अंतराल $[-a, a]$ में सतत है। मान लीजिए कि $f'(x)$ का अस्तित्व है और सभी $x \in (-a, a)$ के लिए $f'(x) \le 1$ है। यदि $f(a) = a$ और $f(-a) = -a$ है,तो $f(0)$ क्या है?

यदि फलन $f(x) = ax^3 - bx^2 - 8x - 4$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले (Rolle's) प्रमेय को संतुष्ट करता है, और $f'(2) = 0$ है, तो $a - b$ का मान है:

फलन $f(x)=2x^3-3x^2-x+1$ और अंतरालों $I_1=[-1,0]$, $I_2=[0,1]$, $I_3=[1,2]$, $I_4=[-2,-1]$ पर विचार करें। तो,

मान लीजिए कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ सतत फलन हैं जो अंतराल $(-1,2)$ पर दो बार अवकलनीय हैं। बिंदुओं $-1, 0$ और $2$ पर $f$ और $g$ के मान निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:

$x$	$x=-1, 0, 2$
$f(x)$	$3, 6, 0$
$g(x)$	$0, 1, -1$

प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $(f-3g)^{\prime \prime}$ कभी शून्य नहीं होता है। तो सही कथन है(हैं):
$(A)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ के $(-1,0) \cup (0,2)$ में ठीक तीन हल हैं
$(B)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ का $(-1,0)$ में ठीक एक हल है
$(C)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ का $(0,2)$ में ठीक एक हल है
$(D)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ के $(-1,0)$ में ठीक दो हल और $(0,2)$ में ठीक दो हल हैं

यदि $a + b + c = 0$ है,तो अंतराल $(0, 1)$ में समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के कितने मूल हैं?