निम्नलिखित में से किस अंतराल में फलन $f(x) = x^2 - 4$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है?

मान लीजिए कि $f(x)$, $[0, 5]$ पर सतत है और $(0, 5)$ पर अवकलनीय है। यदि $f(0) = 0$ और $(0, 5)$ में सभी $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ है, तो $[0, 5]$ में सभी $x$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $a \le x \le b$ पर सतत अवकलनीय है जहाँ $a < b, f(a) < 0$ और $f(b) > 0$,तो निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सत्य है?
$(i)$ $f(x)$ अंतराल $a \le x \le b$ पर परिबद्ध (bounded) है।
$(ii)$ समीकरण $f(x) = 0$ का $a < x < b$ में कम से कम एक हल है।
$(iii)$ $f(x)$ का अधिकतम और न्यूनतम मान उन बिंदुओं पर होता है जहाँ $f'(c) = 0$ है।
$(iv)$ $a < c < b$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा है जहाँ $f'(c) > 0$ है।
$(v)$ $a < d < b$ में कम से कम एक बिंदु $d$ ऐसा है जहाँ $f'(d) < 0$ है।

यदि फलन $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ के लिए अंतराल $x \in [0, 4]$ पर माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) लागू होता है,तो प्रमेय के अनुसार $c$ के मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: [-1, 2] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ और $t \in [0, 2]$ के लिए $-1 \le f'(t) \le 0$ है। तो:

मान लीजिए कि फलन $f:[-7,0] \rightarrow R$,$[-7,0]$ पर संतत है और $(-7,0)$ पर अवकलनीय है। यदि $f(-7)=-3$ और सभी $x \in (-7,0)$ के लिए $f'(x) \leq 2$ है,तो ऐसे सभी फलनों $f$ के लिए,$f(-1)+f(0)$ किस अंतराल में स्थित है?