मान लीजिए कि f(x), [0, 5] पर सतत है और (0, 5) | vedclass

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Question

(A) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, किसी भी $x \in (0, 5]$ के लिए, एक ऐसा $c \in (0, x)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(x) - f(

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$|f(x)| \leq 1$

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(A) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, किसी भी $x \in (0, 5]$ के लिए, एक ऐसा $c \in (0, x)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ हो।दिया गया है कि $f(0) = 0$, इसलिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(x)}{x}$ प्राप्त होता है।निरपेक्ष मान लेने पर, $|f^{\prime}(c)| = \left|\frac{f(x)}{x}\right| = \frac{|f(x)|}{|x|}$ होता है।चूंकि $(0, 5)$ में सभी $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ है, इसलिए $|f^{\prime}(c)| \leq \frac{1}{5}$ होगा।अतः, $\frac{|f(x)|}{x} \leq \frac{1}{5}$, जिसका अर्थ है कि $|f(x)| \leq \frac{x}{5}$।यहाँ $x \in [0, 5]$ है, इसलिए $\frac{x}{5}$ का अधिकतम मान $\frac{5}{5} = 1$ है।अतः, $[0, 5]$ में सभी $x$ के लिए $|f(x)| \leq 1$ सत्य है।

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