यदि $x \in [0, 4]$ के लिए $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ है,तो लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करने वाला $c \in (0, 4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = x^{3}$ और $g(x) = x^{3} - 4x$ अंतराल $[-2, 2]$ में हैं,तो निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(a)$ $f(x)$ और $g(x)$ माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को संतुष्ट करते हैं।
$(b)$ $f(x)$ और $g(x)$ दोनों रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) को संतुष्ट करते हैं।
$(c)$ केवल $g(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
इनमें से कौन सा कथन सही है?

मान लीजिए कि $f''(x)$ सभी वास्तविक $x$ के लिए मौजूद है। यदि $f(2) = 2$,$f(3) = 5$ और $f(4) = 10$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन निश्चित रूप से सत्य है?

द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ पर विचार करें,जहाँ $2a+3b+6c=0$ और मान लीजिए $g(x)=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx$.
कथन-$I$ : दिए गए द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ का $(0,1)$ में कम से कम एक मूल है।
कथन-$II$ : $[0,1]$ पर $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है।
तो

अंतराल $x \in [0, 1]$ पर फलन $f(x) = x^2(1 - x)^2$ के लिए रोले प्रमेय (Rolle's theorem) को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है...

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$ है। यदि $a = 4$,$b = 9$ और $f(x) = \sqrt{x}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।