अंतराल $x \in [-6, 0]$ पर फलन $f(x) = x \sqrt{x+6}$ के लिए रोले के प्रमेय की शर्तों और निष्कर्षों को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है:

यदि $f(x)=(2x-1)(3x+2)(4x-3)$ एक वास्तविक मान वाला फलन है जो $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ पर परिभाषित है, तो रोले के प्रमेय के कथन में परिभाषित '$c$' का/के मान ज्ञात कीजिए।

$f:[1,3] \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x)=x^3+a x^2+b x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $f(1)-f(3)=0$ और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है, तो $a-b$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण $2^x+5^x=3^x+4^x$ के

मान लीजिए कि $f(x)$,$[0, 2]$ में माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 0$ और $[0, 2]$ में सभी $x$ के लिए $|f'(x)| \le \frac{1}{2}$ है,तो:

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-2, 2)$ पर दो बार अवकलनीय सम फलन हैं,इस प्रकार कि $f(\frac{1}{4}) = 0, f(\frac{1}{2}) = 0, f(1) = 1$ और $g(\frac{3}{4}) = 0, g(1) = 2$ है। तब,$(-2, 2)$ में $f(x)g''(x) + f'(x)g'(x) = 0$ के हलों की न्यूनतम संख्या क्या है?