વિધેય $f(x) = x \sqrt{x+6}$ માટે અંતરાલ $x \in [-6, 0]$ પર રોલના પ્રમેયની શરતો અને નિષ્કર્ષનું પાલન કરતું $c$ નું મૂલ્ય શોધો:

જો વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{x}$ માટે અંતરાલ $x \in [1, 3]$ પર $L.M.V.T.$ લાગુ પડતું હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.

જો $[1, 3]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ એ $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે,તો:

વિધેય $f(x) = \log_{e} x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) લાગુ પડે તે માટે $c$ ની કિંમત શોધો:

વિધેય $f(x) = e^{-2x} \sin 2x$ ને અંતરાલ $(0, \pi/2)$ પર ધ્યાનમાં લો. રોલના પ્રમેય મુજબ,એક વાસ્તવિક સંખ્યા $c \in (0, \pi/2)$ એવી મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના વિધેયો ધ્યાનમાં લો:
$I) f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}-x, & x < \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}-x)^2, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
$II) f(x) = |3x-1|$
$III) f(x) = x|x|$
$IV) f(x) = |x|$
તો $[0, 1]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ કયા વિધેયો માટે લાગુ પડે છે?