જો $[1, 3]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ એ $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે,તો:

ધારો કે $f:(a, b) \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$ એ વિકલનીય વિધેય $g(x)$ માટે છે. જો $f(x) = 0$ ને $(a, b)$ માં બરાબર પાંચ ભિન્ન બીજ હોય,તો $g(x) g'(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા:

અંતરાલ $[1,3]$ માં List-$I$ માં આપેલા તમામ વિધેયોને ધ્યાનમાં લો. List-$II$ માં List-$I$ ના વિધેયો પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ કરીને મેળવેલ '$c$' ના મૂલ્યો છે. વિધેયો અને '$c$' ના મૂલ્યોને જોડો.
(Table same as English)

ધારો કે $f(x) = \log(1 + x^2)$ અને $A$ એવો અચળાંક છે કે જેથી તમામ વાસ્તવિક $x, y$ માટે જ્યાં $x \neq y$,$\frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|} \leq A$ થાય. તો,$A$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત છે

ધારો કે $f''(x)$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો $f(2) = 2$,$f(3) = 5$ અને $f(4) = 10$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન ચોક્કસપણે સાચું છે?

રોલનું પ્રમેય $[-1, 1]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = |x|$ માટે લાગુ પડતું નથી કારણ કે