मान लीजिए कि f(x),[0, 2] में माध्य मान प्रमेय | vedclass

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Question

(B) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (0, 2)$ मौजूद है जिसके लिए $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = f'(c)$ है।चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,हमारे पास $\f

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$|f(x)| \le 1$

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(B) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (0, 2)$ मौजूद है जिसके लिए $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = f'(c)$ है।चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{f(2)}{2} = f'(c)$ है।किसी भी $x \in [0, 2]$ के लिए,$[0, x]$ पर माध्य मान प्रमेय लागू करने पर,कोई $c_x \in (0, x)$ मौजूद है जिसके लिए $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(c_x)$ है।$f(0) = 0$ होने के कारण,यह $\frac{f(x)}{x} = f'(c_x)$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $f(x) = x \cdot f'(c_x)$।मापांक (absolute value) लेने पर,$|f(x)| = |x| \cdot |f'(c_x)|$ प्राप्त होता है।चूंकि $[0, 2]$ में सभी $x$ के लिए $|f'(x)| \le \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $|f(x)| \le |x| \cdot \frac{1}{2}$ होगा।$[0, 2]$ में $x$ का अधिकतम मान $2$ है,इसलिए $|f(x)| \le 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ प्राप्त होता है।अतः,$|f(x)| \le 1$।

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