मान लीजिए f अंतराल [a, b] पर एक सतत अवकलनीय फ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in

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किसी $x \in(a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) = 0$

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(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime}(c)=0$ है। चूँकि $f^{\prime}(a)=0$ और $f^{\prime}(c)=0$ है, और $f^{\prime}$ अंतराल $[a, c]$ पर सतत है तथा $(a, c)$ पर अवकलनीय है, इसलिए हम अंतराल $[a, c]$ पर $f^{\prime}$ के लिए रोले का प्रमेय लागू कर सकते हैं। अतः, कम से कम एक $k \in (a, c)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime \prime}(k)=0$ है। चूँकि $(a, c) \subset (a, b)$, इसलिए किसी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)=0$ होगा।

मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है, इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

Similar Questions

मान लीजिए $f: [-1, 2] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ और $t \in [0, 2]$ के लिए $-1 \le f'(t) \le 0$ है। तो:

यदि $f(x) = x^{\alpha} \log x, x > 0, f(0) = 0$ और $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $\alpha$ का मान क्या है?

यदि फलन $f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx$ के लिए अंतराल $x \in [-1, 1]$ में $x = \frac{1}{2}$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है,तो $2b + c$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = |x - 2| + |x - 5|, x \in R$ पर विचार करें।
कथन-$1$: $f'(4) = 0$.
कथन-$2$: $f$,$[2, 5]$ में सतत है,$(2, 5)$ में अवकलनीय है और $f(2) = f(5)$ है।

यदि फलन $f(x) = ax^3 - bx^2 - 8x - 4$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले (Rolle's) प्रमेय को संतुष्ट करता है, और $f'(2) = 0$ है, तो $a - b$ का मान है:

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