ધારો કે $f$ એ $[a, b]$ પર સતત વિકલનીય વિધેય છે અને $(a, b)$ પર બે વાર વિકલનીય છે, જેથી $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ અને $f(b)=0$ થાય. તો:

ધારો કે $f''(x)$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો $f(2) = 2$,$f(3) = 5$ અને $f(4) = 10$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન ચોક્કસપણે સાચું છે?

કયા અંતરાલ માટે વિધેય $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 1}$ રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે?

સમીકરણ $2^x+5^x=3^x+4^x$ ના

ધારો કે $f(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત અચળ ન હોય તેવું બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(x)=f(1-x)$ અને $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ થાય. તો
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ એ $[0,1]$ પર ઓછામાં ઓછી બે વાર શૂન્ય થાય છે
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$

જો સમીકરણ $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x = 0$,જ્યાં $a_1 \neq 0$ અને $n \geq 2$,નું એક ધન બીજ $x = \alpha$ હોય,તો સમીકરણ $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ નું એક ધન બીજ કેવું હશે?