यदि $27a + 9b + 3c + d = 0$ है,तो समीकरण $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0$ का कम से कम एक मूल किसके बीच स्थित है?

मान लीजिए $f(x) = (x-4)(x-5)(x-6)(x-7)$,तो -

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, $x=a$ और $x=b$ पर सतत है, और $f(a)=0=f(b)$ है। तो:

फलन $f(x) = e^x$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर जहाँ $a = 0$ और $b = 1$ है,माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में $c$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $f(x)$ एक फलन है जो $[1, 2]$ पर सतत है और $(1, 2)$ पर अवकलनीय है,जो $f(1) = 2, f(2) = 3$ और $f'(x) \geq 1$ (सभी $x \in (1, 2)$ के लिए) को संतुष्ट करता है। यदि $g(x) = \int_1^x f(t) \, dt$ (सभी $x \in [1, 2]$ के लिए) है,तो $[1, 2]$ पर $g(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x)=2+\cos x$ है।
$\text{कथन}-1$: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए,$[t, t+\pi]$ में एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c)=0$ है। क्योंकि
$\text{कथन}-2$: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए $f(t)=f(t+2\pi)$ है।