मान लीजिए कि सभी वास्तविक x के लिए f(x)=2+cos | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x)=2+\cos x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।कथन-$1$: हमें यह जांचना है कि क्या $[t, t+\pi]$ में $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c)=0$ हो।$f'

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कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x)=2+\cos x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।कथन-$1$: हमें यह जांचना है कि क्या $[t, t+\pi]$ में $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c)=0$ हो।$f'(x) = -\sin x$।$f'(c)=0$ के लिए,$\sin c = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $c = n\pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए।$\pi$ लंबाई के किसी भी अंतराल में,जैसे $[t, t+\pi]$,हमेशा कम से कम एक $\pi$ का गुणज होता है। उदाहरण के लिए,यदि $t=0.1$ है,तो अंतराल $[0.1, 3.24]$ है,जिसमें $\pi \approx 3.14$ शामिल है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।कथन-$2$: $f(t) = 2+\cos t$ और $f(t+2\pi) = 2+\cos(t+2\pi) = 2+\cos t$। इसलिए,$f(t)=f(t+2\pi)$ सत्य है।हालाँकि,कथन-$2$ ($f$ की आवर्तता) यह संकेत नहीं देता है कि प्रत्येक $\pi$ लंबाई के अंतराल में अवकलज का शून्य होना आवश्यक है। $[t, t+\pi]$ में शून्य का अस्तित्व साइन फलन के शून्य होने का गुण है,न कि $f$ की आवर्तता का। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

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मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है, इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

यदि $f(x) = x^{\alpha} \log x, x > 0, f(0) = 0$ और $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $\alpha$ का मान क्या है?

फलन $f(x) = \sin(2 \pi x)$ के लिए अंतराल $x \in [-1, 1]$ पर रोले के प्रमेय के निष्कर्ष को संतुष्ट करने वाले $C$ के मानों की संख्या है:

यदि फलन $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ अंतराल $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ है,तो $p$ और $q$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a = $ ..............

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