यदि फलन f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q अंतराल [1, | vedclass

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Question

(B) किसी फलन $f(t)$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर रोले का प्रमेय तब संतुष्ट होता है जब $f(a) = f(b)$ हो।यहाँ $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ अंतराल $[1, 3]$

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$p = 11, q \in R$

Vedclass · Answer

(B) किसी फलन $f(t)$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर रोले का प्रमेय तब संतुष्ट होता है जब $f(a) = f(b)$ हो।यहाँ $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ अंतराल $[1, 3]$ पर दिया गया है,इसलिए $f(1) = f(3)$ होगा।$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + p(1) + q = 1 - 6 + p + q = p + q - 5$.$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + p(3) + q = 27 - 54 + 3p + q = 3p + q - 27$.$f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर:$p + q - 5 = 3p + q - 27$.$2p = 22 \Rightarrow p = 11$.चूंकि $q$ दोनों पक्षों से कट जाता है,इसलिए $q$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(q \in R)$।अतः,$p = 11$ और $q \in R$।

यदि फलन $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ अंतराल $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ है,तो $p$ और $q$ का मान ज्ञात कीजिए।

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