ધારો કે f:[a, b] rightarrow R એવું છે કે f એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
કેમ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત છે અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે, તેથી $g(x)$ પણ $[a, b]$ પર સતત અને $(a

Vedclass · Accepted Answer

$(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c)=f(c)$ થાય

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
કેમ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત છે અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે, તેથી $g(x)$ પણ $[a, b]$ પર સતત અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે.
આપેલ છે કે $f(a)=0$ અને $f(b)=0$, તેથી $g(a) = e^{-a} f(a) = 0$ અને $g(b) = e^{-b} f(b) = 0$ મળે છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ, $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g^{\prime}(c) = 0$ થાય.
હવે, $g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.
$g^{\prime}(c) = 0$ લેતા, આપણને $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$ મળે છે.
કેમ કે કોઈપણ $c$ માટે $e^{-c} 
eq 0$ છે, તેથી $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ અથવા $f^{\prime}(c) = f(c)$ સાબિત થાય છે.

ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એવું છે કે $f$ એ $(a, b)$ માં વિકલનીય છે, $x=a$ અને $x=b$ પર સતત છે, અને $f(a)=0=f(b)$ છે. તો:

Similar Questions

વિધેય $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 8x + 11$ માટે અંતરાલ $x \in [0, 1]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

જો વિધેય $f(x) = \log x$ માટે અંતરાલ $[1, e]$ પર $LMVT$ લાગુ કરી શકાય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module