यदि फलन f(x)=sqrt{x^2-4} अंतराल [2, 4] पर लैग | vedclass

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Question

(C) फलन $f(x) = \sqrt{x^2-4}$ अंतराल $[2, 4]$ पर सतत है और $(2, 4)$ पर अवकलनीय है।लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $C \in (2, 4)$ विद्यमा

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$\sqrt{6}$

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(C) फलन $f(x) = \sqrt{x^2-4}$ अंतराल $[2, 4]$ पर सतत है और $(2, 4)$ पर अवकलनीय है।लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $C \in (2, 4)$ विद्यमान है जिसके लिए $f'(C) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ होता है।सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2-4}} 	imes 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$.इसके बाद,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें: $f(4) = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ और $f(2) = \sqrt{4-4} = 0$.इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{C}{\sqrt{C^2-4}} = \frac{2\sqrt{3} - 0}{4 - 2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{C^2}{C^2-4} = 3$.$C^2 = 3(C^2 - 4) \Rightarrow C^2 = 3C^2 - 12 \Rightarrow 2C^2 = 12 \Rightarrow C^2 = 6$.चूंकि $C \in (2, 4)$,हम धनात्मक मान लेंगे: $C = \sqrt{6}$.

यदि फलन $f(x)=\sqrt{x^2-4}$ अंतराल $[2, 4]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $C$ का मान ज्ञात कीजिए।

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