निम्नलिखित में से कौन सा फलन दिए गए अंतराल मे | vedclass

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Question

(D) रोले का प्रमेय बताता है कि किसी फलन $f(x)$ को अंतराल $[a, b]$ में प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए तीन शर्तों को पूरा करना होगा: $1$. $f(x)$,$[a, b]$

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$f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[\frac{1}{3}, 3]$ में

Vedclass · Answer

(D) रोले का प्रमेय बताता है कि किसी फलन $f(x)$ को अंतराल $[a, b]$ में प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए तीन शर्तों को पूरा करना होगा: $1$. $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत (continuous) होना चाहिए। $2$. $f(x)$,$(a, b)$ पर अवकलनीय (differentiable) होना चाहिए। $3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए। आइए विकल्पों की जाँच करें: विकल्प $A$: $f(x) = |	ext{sgn}(x)|$,$x = 0$ पर सतत नहीं है,इसलिए यह विफल हो जाता है। विकल्प $B$: $f(2) = 3(2)^2 - 2 = 10$ और $f(3) = 3(3)^2 - 2 = 25$। चूँकि $f(2) 
eq f(3)$,यह विफल हो जाता है। विकल्प $C$: $f(x) = |x - 1|$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(0, 2)$ के भीतर है,इसलिए यह विफल हो जाता है। विकल्प $D$: $f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[\frac{1}{3}, 3]$ में। $f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$। $f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$। चूँकि $f(\frac{1}{3}) = f(3)$ है और फलन अंतराल में सतत और अवकलनीय है,इसलिए यह रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन दिए गए अंतराल में रोले के प्रमेय को संतुष्ट कर सकता है?

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यदि फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a = $ ..............

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