मान लीजिए कि f: R rightarrow R एक दो बार सतत | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f(0) = f(1) = 0$ है। रोल के प्रमेय के अनुसार, अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = 0$ हो। हम

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किसी $c \in (0, 1)$ के लिए $f^{\prime \prime}(c) = 0$

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(A) दिया गया है कि $f(0) = f(1) = 0$ है। रोल के प्रमेय के अनुसार, अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = 0$ हो। हमें यह भी दिया गया है कि $f^{\prime}(0) = 0$ है। अब, अंतराल $[0, c]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें। चूंकि $f$ दो बार सतत अवकलनीय है, इसलिए $f^{\prime}$ अंतराल $[0, c]$ पर सतत है और $(0, c)$ पर अवकलनीय है। साथ ही, $f^{\prime}(0) = 0$ और $f^{\prime}(c) = 0$ है। अंतराल $[0, c]$ पर $f^{\prime}(x)$ के लिए रोल का प्रमेय लागू करने पर, $(0, c)$ में कम से कम एक बिंदु $c_1$ ऐसा मौजूद है कि $(f^{\prime})^{\prime}(c_1) = f^{\prime \prime}(c_1) = 0$ हो। अतः, किसी $c_1 \in (0, 1)$ के लिए $f^{\prime \prime}(c_1) = 0$ होगा।

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $f(0) = f(1) = f^{\prime}(0) = 0$ है। तो:

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यदि फलन $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ अंतराल $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ है,तो $p$ और $q$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $x \in [-6, 0]$ पर फलन $f(x) = x \sqrt{x+6}$ के लिए रोले के प्रमेय की शर्तों और निष्कर्षों को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है:

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं और $a, b \in I, a < b$ है। तो,

मान लीजिए $f^{\prime}(0)=-3$ और $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है। तो $f(2)$ का संभावित अधिकतम मान क्या हो सकता है?

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