मान लीजिए कि वृत्त x^2+y^2-4x-6y+11=0 को बिंद | vedclass

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Question

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ है। इसका केंद्र $C(2,3)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+3^2-11} = \sqrt{2}$ है।बिंदु $(3,2)$ पर स्पर्शरेखा $T$ का

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$4(1+\sqrt{2})$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ है। इसका केंद्र $C(2,3)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+3^2-11} = \sqrt{2}$ है।बिंदु $(3,2)$ पर स्पर्शरेखा $T$ का समीकरण $(3-2)(x-2)+(2-3)(y-3)=2$,अर्थात $x-y-1=0$ है।स्पर्शरेखा की ढाल $m=1$ है। स्पर्शरेखा की दिशा में इकाई सदिश $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ है।वृत्त को स्पर्शरेखा पर $4$ इकाई लुढ़काने पर केंद्र $C(2,3)$ में $4 	imes \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ का विस्थापन होता है।अतः,$C_1$ का केंद्र $A = (2+2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2})$ है।$C_2$,$T$ में $C_1$ का प्रतिबिंब है। केंद्र $B$,रेखा $x-y-1=0$ में $A$ का प्रतिबिंब है।प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{x_B-x_A}{1} = \frac{y_B-y_A}{-1} = -2 \frac{x_A-y_A-1}{1^2+(-1)^2} = 2$.अतः,$x_B = 2+2\sqrt{2}+2 = 4+2\sqrt{2}$ और $y_B = 3+2\sqrt{2}-2 = 1+2\sqrt{2}$.$A = (2+2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2})$ और $B = (4+2\sqrt{2}, 1+2\sqrt{2})$.$M$ और $N$ के निर्देशांक $(2+2\sqrt{2}, 0)$ और $(4+2\sqrt{2}, 0)$ हैं।समलंब चतुर्भुज $AMNB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes (AM+BN) 	imes MN = \frac{1}{2} 	imes (3+2\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}) 	imes 2 = 4+4\sqrt{2} = 4(1+\sqrt{2})$.

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