मान लीजिए कि एक वक्र y=f(x), x in(0, infty) ब | vedclass

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Question

(C) $R(b, f(b))$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण है:$y - f(b) = f'(b)(x - b)$चूंकि यह स्पर्श रेखा $S(0, c)$ से होकर गुजरती है,इसलिए:$c - f(b) = f'(b)(0 - b)$

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$5$

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(C) $R(b, f(b))$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण है:$y - f(b) = f'(b)(x - b)$चूंकि यह स्पर्श रेखा $S(0, c)$ से होकर गुजरती है,इसलिए:$c - f(b) = f'(b)(0 - b)$$c - f(b) = -b f'(b)$दिया गया है $bc = 3$,इसलिए $c = \frac{3}{b}$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{3}{b} - f(b) = -b f'(b)$$b f'(b) - f(b) = -\frac{3}{b}$दोनों पक्षों को $b^2$ से विभाजित करने पर:$\frac{b f'(b) - f(b)}{b^2} = -\frac{3}{b^3}$यह $\frac{f(b)}{b}$ का $b$ के सापेक्ष अवकलन है:$\frac{d}{db} \left( \frac{f(b)}{b} \right) = -\frac{3}{b^3}$दोनों पक्षों का $b$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\frac{f(b)}{b} = \int -3b^{-3} db = \frac{3}{2b^2} + \lambda$$f(b) = \frac{3}{2b} + \lambda b$चूंकि वक्र $P(1, 3/2)$ से होकर गुजरता है:$\frac{3}{2} = \frac{3}{2(1)} + \lambda(1) \Rightarrow \lambda = 0$अतः,$f(x) = \frac{3}{2x}$.चूंकि वक्र $Q(a, 1/2)$ से होकर गुजरता है:$f(a) = \frac{3}{2a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 3$अतः,$Q$ बिंदु $(3, 1/2)$ है।दूरी $PQ$ का वर्ग है:$PQ^2 = (3 - 1)^2 + (1/2 - 3/2)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

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