मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन f समीकरण int_{0}^ | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $\int_0^{36} f\left(\frac{tx}{36}\right) dt = 4\alpha f(x)$.मान लीजिए $u = \frac{tx}{36}$, तब $du = \frac{x}{36} dt$, इसलिए $dt =

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$64$

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(C) दिया गया समीकरण: $\int_0^{36} f\left(\frac{tx}{36}\right) dt = 4\alpha f(x)$.मान लीजिए $u = \frac{tx}{36}$, तब $du = \frac{x}{36} dt$, इसलिए $dt = \frac{36}{x} du$.जब $t=0, u=0$ और जब $t=36, u=x$.समाकलन इस प्रकार होगा: $\int_0^x f(u) \cdot \frac{36}{x} du = 4\alpha f(x)$.$\int_0^x f(u) du = \frac{4\alpha x f(x)}{36} = \frac{\alpha x f(x)}{9}$.लेबनिज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f(x) = \frac{\alpha}{9} [f(x) + x f'(x)]$.$f(x) = \frac{\alpha}{9} f(x) + \frac{\alpha x}{9} f'(x)$.$(1 - \frac{\alpha}{9}) f(x) = \frac{\alpha x}{9} f'(x) \Rightarrow (9 - \alpha) f(x) = \alpha x f'(x)$.$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{9 - \alpha}{\alpha} \cdot \frac{1}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|f(x)| = (\frac{9}{\alpha} - 1) \ln|x| + C$.$f(x) = c x^{(\frac{9}{\alpha} - 1)}$.चूंकि $f(x)$ एक मानक परवलय है, घातांक $2$ होना चाहिए, इसलिए $\frac{9}{\alpha} - 1 = 2 \Rightarrow \frac{9}{\alpha} = 3 \Rightarrow \alpha = 3$.अतः, $f(x) = cx^2$.यह $(2, 1)$ से होकर गुजरता है, इसलिए $1 = c(2)^2 \Rightarrow c = \frac{1}{4}$.अतः, $f(x) = \frac{x^2}{4}$.बिंदु $(-4, \beta)$ के लिए, $\beta = \frac{(-4)^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.अंत में, $\beta^{\alpha} = 4^3 = 64$.

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