मान लीजिए कि एक रेखा दो अलग-अलग बिंदुओं P(-2, | vedclass

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Question

(A) रेखा $P(-2, -1, 3)$ से होकर गुजरती है और $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ के समानांतर है। अतः,$Q$ के निर्देशांक $Q(3\lambda - 2, 2\lambd

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$136$

Vedclass · Answer

(A) रेखा $P(-2, -1, 3)$ से होकर गुजरती है और $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ के समानांतर है। अतः,$Q$ के निर्देशांक $Q(3\lambda - 2, 2\lambda - 1, 2\lambda + 3)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं,जहाँ $\lambda 
eq 0$.दूरी $QR = 5$ दी गई है,इसलिए $\sqrt{(3\lambda - 2 - 1)^2 + (2\lambda - 1 - 3)^2 + (2\lambda + 3 - 3)^2} = 5$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3\lambda - 3)^2 + (2\lambda - 4)^2 + (2\lambda)^2 = 25$.$9(\lambda - 1)^2 + 4(\lambda - 2)^2 + 4\lambda^2 = 25$.$9(\lambda^2 - 2\lambda + 1) + 4(\lambda^2 - 4\lambda + 4) + 4\lambda^2 = 25$.$17\lambda^2 - 34\lambda + 25 = 25 \Rightarrow 17\lambda(\lambda - 2) = 0$.चूँकि $Q, P$ से भिन्न है,$\lambda 
eq 0$,इसलिए $\lambda = 2$.अतः,$Q = (3(2) - 2, 2(2) - 1, 2(2) + 3) = (4, 3, 7)$.अब,$\vec{PQ} = Q - P = (4 - (-2), 3 - (-1), 7 - 3) = (6, 4, 4)$.$\vec{PR} = R - P = (1 - (-2), 3 - (-1), 3 - 3) = (3, 4, 0)$.$	riangle PQR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{PQ} 	imes \vec{PR}|$ है।$\vec{PQ} 	imes \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 6 & 4 & 4 \ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 16) - \hat{j}(0 - 12) + \hat{k}(24 - 12) = -16\hat{i} + 12\hat{j} + 12\hat{k}$.$|\vec{PQ} 	imes \vec{PR}| = \sqrt{(-16)^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144 + 144} = \sqrt{544}$.क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{544} = \sqrt{\frac{544}{4}} = \sqrt{136}$.अतः,क्षेत्रफल का वर्ग $136$ है।

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