ધારો કે e એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર છે. વાસ્ત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$.આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1-x)}$

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$.આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1-x)}$.$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:$\frac{1}{x} \ln(1-x) = -1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots$તેથી,$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots} = e^{-1} \cdot e^{-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots}$.$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1} \left( 1 + (-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots) + \frac{(-\frac{x}{2} - \dots)^2}{2} + \dots \right) = e^{-1} \left( 1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots \right)$.આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:$L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-1} (1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots) - e^{-1}}{x^a} = e^{-1} \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} - \dots}{x^a}$.લક્ષ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,અંશમાં $x$ ની ઘાત છેદ $x^a$ સાથે મેળ ખાતી હોવી જોઈએ. તેથી,$a = 1$.

Similar Questions

$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {3 + \cos x} \right)}}{{x\tan 4x}} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{cosec} x\left(\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}-\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{\left( {\frac{{x + a}}{{x + b}}} \right)^{x + b}} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \sin ^{-1} x}{x^2}$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{(1-\sin x)(8 x^3-\pi^3) \cos x}{(\pi-2 x)^4}$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module