मान लीजिए कि परवलय y^2=12x की नाभीय जीवा PQ क | vedclass

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Question

(D) परवलय $y^2=4ax$ की नाभीय जीवा की लंबाई $L = 4a \operatorname{cosec}^2 	heta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $	heta$ जीवा द्वारा परवलय के अक्ष के साथ बना

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$72$

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(D) परवलय $y^2=4ax$ की नाभीय जीवा की लंबाई $L = 4a \operatorname{cosec}^2 	heta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $	heta$ जीवा द्वारा परवलय के अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।यहाँ,$4a = 12$,इसलिए $a = 3$. लंबाई $L = 15$.$12 \operatorname{cosec}^2 	heta = 15 \implies \operatorname{cosec}^2 	heta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.तब $\sin^2 	heta = \frac{4}{5}$,जिसका अर्थ है $\cos^2 	heta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.अतः,$	an^2 	heta = \frac{\sin^2 	heta}{\cos^2 	heta} = \frac{4/5}{1/5} = 4$,इसलिए $	an 	heta = 2$.नाभीय जीवा नाभि $(a, 0) = (3, 0)$ से होकर गुजरती है। $	heta$ ढाल वाली जीवा का समीकरण $y - 0 = m(x - 3)$ है।जीवा अक्ष के साथ $	heta$ कोण बनाती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \pm 	an 	heta = \pm 2$ है। मान लीजिए $m = 2$.समीकरण $y = 2(x - 3) \implies 2x - y - 6 = 0$ है।मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $2x - y - 6 = 0$ की दूरी $p = \frac{|2(0) - 0 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ है।इसलिए,$p^2 = \frac{36}{5}$.अंत में,$10p^2 = 10 	imes \frac{36}{5} = 2 	imes 36 = 72$.

मान लीजिए कि परवलय $y^2=12x$ की नाभीय जीवा $PQ$ की लंबाई $15$ इकाई है। यदि मूल बिंदु से $PQ$ की दूरी $p$ है,तो $10p^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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