मान लीजिए कि रेखा x - y = 4 वृत्त C : (x - 4) | vedclass

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Question

(A) वृत्त $C$ का केंद्र $O(4, -3)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।रेखा $L: x - y - 4 = 0$ वृत्त को $Q$ और $R$ पर काटती है।$PQ = PR$ के लिए, $P$ को जीवा $QR$ क

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$18$

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(A) वृत्त $C$ का केंद्र $O(4, -3)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।रेखा $L: x - y - 4 = 0$ वृत्त को $Q$ और $R$ पर काटती है।$PQ = PR$ के लिए, $P$ को जीवा $QR$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।किसी भी जीवा का लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।रेखा $L$ की ढाल $1$ है, इसलिए लंब समद्विभाजक की ढाल $-1$ है।$(4, -3)$ से गुजरने वाले लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - (-3) = -1(x - 4)$ है, जो सरल होकर $x + y = 1$ हो जाता है।बिंदु $P(\alpha, \beta)$ वृत्त और रेखा $x + y = 1$ पर स्थित है, इसलिए $\beta = 1 - \alpha$.वृत्त के समीकरण में मान रखने पर: $(\alpha - 4)^2 + (1 - \alpha + 3)^2 = 9$.$(\alpha - 4)^2 + (4 - \alpha)^2 = 9 \implies 2(\alpha - 4)^2 = 9 \implies (\alpha - 4)^2 = 4.5$.साथ ही, $6\alpha + 8\beta = 6\alpha + 8(1 - \alpha) = 8 - 2\alpha$.$(\alpha - 4)^2 = 4.5$ से, $\alpha - 4 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$, इसलिए $\alpha = 4 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$.तब $8 - 2\alpha = 8 - 2(4 \pm \frac{3}{\sqrt{2}}) = 8 - 8 \mp 3\sqrt{2} = \mp 3\sqrt{2}$.इसका वर्ग करने पर, $(6\alpha + 8\beta)^2 = (\mp 3\sqrt{2})^2 = 9 	imes 2 = 18$.

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