ધારો કે સમતલ P એ રેખા 2x+y-z-3=0=5x-3y+4z+9 ન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) રેખા $2x+y-z-3=0$ અને $5x-3y+4z+9=0$ માંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(2x+y-z-3) + \lambda(5x-3y+4z+9) = 0$ છે.આને સાદું રૂપ આપતા $(2+5\lamb

Vedclass · Accepted Answer

$26$

Vedclass · Answer

(A) રેખા $2x+y-z-3=0$ અને $5x-3y+4z+9=0$ માંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(2x+y-z-3) + \lambda(5x-3y+4z+9) = 0$ છે.આને સાદું રૂપ આપતા $(2+5\lambda)x + (1-3\lambda)y + (-1+4\lambda)z + (9\lambda-3) = 0$ મળે.આ સમતલ દિશા સદિશ $\vec{b} = (2, 4, 5)$ વાળી રેખાને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2+5\lambda, 1-3\lambda, -1+4\lambda)$ એ $\vec{b}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.તેથી,$\vec{n} \cdot \vec{b} = 0 \implies 2(2+5\lambda) + 4(1-3\lambda) + 5(-1+4\lambda) = 0$.$4 + 10\lambda + 4 - 12\lambda - 5 + 20\lambda = 0 \implies 18\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{6}$.$\lambda = -\frac{1}{6}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(2 - \frac{5}{6})x + (1 + \frac{3}{6})y + (-1 - \frac{4}{6})z + (-\frac{9}{6} - 3) = 0$.$6$ વડે ગુણતા: $(12-5)x + (6+3)y + (-6-4)z + (-9-18) = 0 \implies 7x + 9y - 10z - 27 = 0$.બિંદુ $A(8, -1, -19)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{x}{-3} = \frac{y-5}{4} = \frac{z-2}{12}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-8}{-3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z+19}{12} = k$ છે.આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $B(8-3k, -1+4k, -19+12k)$ છે.જો $B$ એ સમતલ $7x + 9y - 10z - 27 = 0$ પર હોય,તો $7(8-3k) + 9(-1+4k) - 10(-19+12k) - 27 = 0$.$56 - 21k - 9 + 36k + 190 - 120k - 27 = 0 \implies -105k + 210 = 0 \implies k = 2$.અંતર $AB$ એ સદિશ $\vec{AB} = (-3k, 4k, 12k)$ નું $k=2$ માટેનું માન છે,જે $\sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 24^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26$ છે.

Similar Questions

સમતલો $x+y+z=1$ અને $2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $X$-અક્ષને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.

રેખા $r = (-\hat{i} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ અને સમતલ $r \cdot (10\hat{i} + 2\hat{j} - 11\hat{k}) = 3$ વચ્ચેનો લઘુકોણ શોધો.

જો રેખાઓ $x = 1 + s, y = -3 - \lambda s, z = 1 + \lambda s$ અને $x = t/2, y = 1 + t, z = 2 - t$,જ્યાં $s$ અને $t$ પ્રાચલો છે,એક જ સમતલમાં હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module