मान लीजिए कि प्रथम चतुर्थांश में स्थित बिंदु | vedclass

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Question

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ है। यहाँ,$a^2=4, b^2=3$,अतः $a=2, b=\sqrt{3}$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

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$\frac{\sqrt{5}}{4}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ है। यहाँ,$a^2=4, b^2=3$,अतः $a=2, b=\sqrt{3}$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है। चूँकि $L$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,$L$ के निर्देशांक $(ae, \frac{b^2}{a}) = (2 	imes \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) = (1, \frac{3}{2})$ हैं। $(x_1, y_1)$ पर दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है। $x_1 = 1, y_1 = \frac{3}{2}, a^2 = 4, b^2 = 3$ रखने पर: $\frac{4x}{1} - \frac{3y}{3/2} = 4 - 3 \Rightarrow 4x - 2y = 1$। अभिलंब दीर्घ अक्ष ($x$-अक्ष) से $P$ पर मिलता है,$y=0$ रखने पर: $4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$। अतः,$P = (\frac{1}{4}, 0)$। अभिलंब लघु अक्ष ($y$-अक्ष) से $Q$ पर मिलता है,$x=0$ रखने पर: $-2y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$। अतः,$Q = (0, -\frac{1}{2})$। दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{1}{4} - 0)^2 + (0 - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$।

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